[2016년 가좌고]

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[2학년 2학기 기말 기하와 벡터]

[eqn: 2x^2 +y^2 =1]에서 [eqn: x=-1], [eqn: y=1]일 때, [eqn: dy over dx]의 값은? [3.9점]

③

① [eqn: -10]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 10]

매개변수로 나타낸 함수 [eqn: x= 1 over t], [eqn: y= 5t^2 -2]에서 [eqn: t=1]일 때, [eqn: dy over dx]의 값은? [3.9점]

①

① [eqn: -10]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 매개변수로 나타내어진 곡선 [eqn: x=f(t^2)], [eqn: y=f(t)] 위의 [eqn: t=1]에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는? (단, [eqn: f`'(1) !=0]이다.) [4.0점]

②

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 2]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x=6t], [eqn: y=2t^2]일 때, 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t=2]에서의 속력은? [4.0점]

⑤

① [eqn: -10]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 10]

포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 점 [eqn: {rmP}(1,```2)]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 포물선의 초점을 [eqn: rmF]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmPFA]의 넓이는? [4.1점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 5over2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 4]

두 평면 [eqn: x+y+2z=1], [eqn: -x+2y+z=5]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: sin theta]의 값은? [4.1점]

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: sqrt {2 }over 2]

④ [eqn: sqrt { 3}over2]	⑤ [eqn: 1]

두 직선 [eqn: l`:`x=t+2], [eqn: y=- sqrt { 2}t], [eqn: z=t-1]과
[eqn: m`:`x=-t+1], [eqn: y= sqrt { 2}t-2], [eqn: z=t]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: sqrt { 2}over2]

④ [eqn: sqrt { 3}over2]	⑤ [eqn: 1]

좌표평면 위의 그림과 같이 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원이 있다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: {rmA}(3,```0)]에서 출발하여 원 위를 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: 2]의 일정한 속력으로 움직일 때, 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 가속도의 크기는? [4.3점]

⑤

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4over3]

곡선 [eqn: y= 1over3 (x^2 +2)^{3over2}] [eqn: (0 le x le 1)]의 길이는? [4.4점]

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5over3]

타원 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 = 1over6] 위의 점 [eqn: (1,```1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -2]일 때, [eqn: a^2]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4.5점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP} (x,```y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x= cos^3 t], [eqn: y= sin^3 t]일 때, 점 [eqn: rmP]가 움직이기 시작하여 속력이 처음으로 [eqn: 0]이 될 때, [eqn: t]의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: pi over 4]	③ [eqn: pi over 3]

④ [eqn: pi over 2]	⑤ [eqn: 2pi over 3]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x= -2` cos `t], [eqn: y= 2 `sin `t]일 때, 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=0]에서 시각 [eqn: t= 2pi]까지 움직인 거리는? [4.7점]

⑤

① [eqn: sqrt { 2} pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: sqrt { 3}pi]

④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: 4pi]

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정육면체
[eqn: rmABCD-EFGH]와 중심이 [eqn: rmF]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구가 있다. 모서리 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmM], 사각형 [eqn: rmCGHD]의 두 대각선이 만나는 점을 [eqn: rmN]이라 하고, 두 선문 [eqn: rmFM], [eqn: rmFN]이 구와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라고 할 때, [eqn: vec{rmPM}cdot vec{rmFQ}]의 값은? [4.8점]

①

① [eqn: 2over3 sqrt { 6}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt { 6}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2sqrt { 6}]

그림과 같이 두 초점이 [eqn: {rmF}(3.```0)], [eqn: {rmF}`'(-3,```0)]인 쌍곡선
[eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2 =1] 위의 점 [eqn: {rmP}(-5,```k)]에서의 접선과 [eqn: x]축과의 교점이 선분 [eqn: rmF` prime F]를 [eqn: 1:2]로 내분할 때, 양수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [4.8점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

타원 [eqn: 3x^2 +y^2 =12] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: y=x+6] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 선분 [eqn: rmPQ]의 길이의 최솟값은? [4.8점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: sqrt { 3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2sqrt { 2}]

초점이 [eqn: rmF]이고, 준선이 [eqn: l]인 포물선 [eqn: y^2 =4px] 위의 한 점 [eqn: rmP]에서 준선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하자. 선분 [eqn: rmHF]의 수직이등분선이 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: {rmT}(-3,```0)]을 지나고, 사각형 [eqn: rmHTFP]의 넓이가 [eqn: 8sqrt { 3}]일 때, [eqn: p]의 값은? [4.9점]

③

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 2]

서술형

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 두 초점 [eqn: {rmF}(6,```0)], [eqn: {rmF}`'(-6,```0)]에 대하여 선분 [eqn: rmF'`F]를 지름으로 하는 원이 있다. 쌍곡선과 원의 교점 중 제 [eqn: 1]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 원 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 5pi over 6]일 때, 쌍곡선의 주축의 길이를 구하고, 풀이과정을 서술하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [7.0점]

[eqn: 6 sqrt {3} -6]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x= cos`t], [eqn: y=t-2`sin`t]일 때, 점 [eqn: rmP]의 속력의 최솟값을 구하고, 풀이과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: {sqrt {6}} over {3}]

좌표공간에서의 중심이 [eqn: {rmC}(3,```1,```1)]이고, 반지름의 길이가 [eqn: sqrt { 2}]인 구가 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]와 접하는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 교선의 방정식이 [eqn: x=-y=z]일 때, [eqn: bar {rmPQ}]의 값을 구하고, 풀이과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: sqrt {6}]

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원을 직선을 따라 미끄러지지 않도록 하면서 한 바퀴 굴릴 때, 그 원 위의 고정된 한 점 [eqn: rmP]가 그리는 곡선의 길이를 구하고, 풀이과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 8]

[2016년 가좌고]

[2학년 2학기 기말 기하와 벡터]

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